Question

9．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，且△ABC为等边三角形，AA₁=AB=6，D为AC的中点．
（1）求证：直线AB₁∥平面BC₁D；
（2）求证：平面BC₁D⊥平面ACC₁A₁；
（3）求三棱锥C-BC₁D的体积．

Answer 1

分析 （1）连接B₁C交BC₁于O，连接OD，证明OD∥B₁A，由线面平行的判定定理证明AB₁∥平面C₁BD．
（2）由线面垂直的判定定理得出BD⊥平面A₁ACC₁，再由面面垂直的判定定理得出平面C₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（3）利用等体积转换，即可求三棱锥C-BC₁D的体积．

解答 （1）证明：如图所示，
连接B₁C交BC₁于O，连接OD，
因为四边形BCC₁B₁是平行四边形，
所以点O为B₁C的中点，
又因为D为AC的中点，
所以OD为△AB₁C的中位线，
所以OD∥B₁A，
又OD?平面C₁BD，AB₁?平面C₁BD，
所以AB₁∥平面C₁BD．
（2）证明：因为△ABC是等边三角形，D为AC的中点，
所以BD⊥AC，
又因为AA₁⊥底面ABC，
所以AA₁⊥BD，
根据线面垂直的判定定理得BD⊥平面A₁ACC₁，
又因为BD?平面C₁BD，
所以平面C₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3$\sqrt{3}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$×3×3$\sqrt{3}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴${V}_{C-B{C}_{1}D}$=${V}_{{C}_{1}-BCD}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{9\sqrt{3}}{2}$•6=9$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑思维能力的应用问题，考查了锥体体积公式的应用，是综合性题目．属于中档题．