Question

给出下列两个命题，其中真命题为

 

①设M（x₀，y₀），E（

3

y₁，y₁），F（-

3

y₂，y₂），O（0，0）是平行四边形OEMF的四个顶点，若y₀²=3x₀²-3，则

ME

•

MF

=-

1

2

．
②若对任意实数x，函数y=1-

1

2x+t

（t为实常数）总有意义，则该函数的值域是（1-

1

t

，1）．

Answer 1

考点：函数的值域,平面向量数量积的运算

专题：函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：①根据OEMF为平行四边形，得到

OE

=

FM

，带入坐标即可求得：

y1= y0 2 - x0 2 3 y2= y0 2 + x0 2 3

，带入坐标求出

ME

•

MF

，并带入y₁，y₂，并根据条件y₀²=3x₀²-3，可求出

ME

•

MF

，这样便可判断命题①的真假了．
②根据已知条件可判断出t＞0，所以由2^x的范围：2^x＞0，能求2^x+t＞t，0＜

1

2x+t

＜

1

t

，从而求出y的范围，也就求出了函数y的值域．

解答： 解：①由已知条件知：

OE

=(

3

y1，y1)，

FM

=(x0+

3

y2，y0-y2)，

ME

=(

3

y1-x0，y1-y0)，

MF

=(-

3

y2-x0，y2-y0)且

OE

=

FM

；
∴

3 y1=x0+ 3 y2 y1=y0-y2

；
∴

y1= y0 2 - x0 2 3 y2= y0 2 + x0 2 3

∴

ME

•

MF

=(

3

y1-x0)(-

3

y2-x0)+（y₁-y₀）（y₂-y₀）=

3

y2(-

3

y1)+y1y2=-2y1y2=

1

6

x02-

1

2

y02
又y02=3x02-3
∴

ME

•

MF

=-

4

3

x02+

3

2

≠-

1

2

∴①是假命题；
②由已知条件可知t＞0；
∴2x＞0，2x+t＞t，0＜

1

2x+t

＜

1

t

；
∴1-

1

t

＜1-

1

2x+t

＜1；
∴该函数的值域是(1-

1

t

，1)．
∴②是真命题．
故答案为：②．

点评：考查相等向量的几何意义，数量积的坐标运算，指数函数的值域，函数的定义域．