Question

已知f（x）=x³+3x²-3mx+4有极大值5．
（1）求m；
（2）求过原点切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，分类讨论，确定导数的变化情况，利用f（x）=x³+3x²-3mx+4有极大值5，求m；
（2）曲线过点（x₁，x₁³-3x₁²-3mx₁+4）的切线斜率为3（x₁²-2x₁-m），切线方程为：y=3（x₁²-2x₁-m）（x-x₁）+x₁³-3x₁²-3mx₁+4，切线过原点（0，0），可得切线方程得y=-3mx，即可求过原点切线方程．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-3x²-3mx+4，∴f′（x）=3x²-6x-3m．
令3x²-6x-3m=0，则△=36（m+1）．
①当△≤0时，函数f（x）无极值．
②当△＞0，即m＞-1时，f′（x）=0有相异两实根，设两根为α，β（α＜β），
f′（x）=3（x-α）（x-β），其中α=1-

m+1

，β=1+

m+1

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：

X	（-∞，α）	α	（α，β）	β	（β，+β）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	?	极大	?	极小	?

∴x=1-

m+1

时，f（x）取极大值，并且f（1-

m+1

）=2（m+1）

m+1

-3m+2 
由2（m+1）

m+1

=3（m+1），∴4（m+1）=9，∴m=

5

4

∴当m=

5

4

时，y=f（x）取得极大值5．
（2）曲线过点（x₁，x₁³-3x₁²-3mx₁+4）的切线斜率为3（x₁²-2x₁-m），
切线方程为：y=3（x₁²-2x₁-m）（x-x₁）+x₁³-3x₁²-3mx₁+4，切线过原点（0，0），
所以-3x₁（x₁²-2x₁-m）+x²₁-3mx₁+4=0，3x₁³+x₁+2＞0，
∴x₁=2，代入切线方程得y=-3mx．
对于m=

5

4

的那条曲线，切线为y=-

15

4

x

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查切线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．