Question

已知抛物线y²=4x上两个动点B，C和点A（1，2），且∠BAC=90°．求证：动直线BC必过定点．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出抛物线上的点B（

a2

4

，a），C（

b2

4

，b），由∠BAC=90°借助于向量数量积等于0得到a，b的关系，由两点式求出BC所在直线的斜率，写出BC的点斜式方程，与a，b的关系式结合后由直线系方程得答案．

解答： 证明：设B（

a2

4

，a），C（

b2

4

，b），而A（1，2），
∴

AB

=(

a2

4

-1，a-2)，

AC

=(

b2

4

-1，b-2)，
由于∠BAC=90°，得向量

AB

⊥

AC

，

AB

•

AC

=0．
即（

a2

4

-1，a-2）•（

b2

4

-1，b-2）=0．
整理得ab+2a+2b+20=0．
而过BC的直线的斜率为：

a-b

a2 4 - b2 4

=

4

a+b

．
∴过BC的直线方程为y-b=

4

a+b

(x-

b2

4

)，
整理得4x+ab-（a+b）y=0，即4x-（a+b）y-2a-2b-20=0．
化为4x-20-（a+b）（y+2）=0．可得直线恒过定点（5，-2）．
∴直线必过定点（5，-2）

点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线系方程的运用，是中档题．