Question

设命题p：若y=f（x）为单调增函数，则y=f（a^x）（a＞0，a≠1）也是单调增函数．命题q：存在实数a，使关于x的方程x²+2x+log_a

3

2

=0的解集是空集，当p或q有且只有一个正确时，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：解命题p和命题q中，然后p或q有且只有一个是真命题，则必然一真一假，分类讨论即可得出．

解答： 解：当p为真命题时，由复合函数的单调性可知内函数y=a^x也是增函数，则a＞1；
当q为真命题时，必有方程x²+2x+log_a

3

2

=0无实数根，∴△=4-4log_a

3

2

＜0，得log_a

3

2

＞1．∴1＜a＜

3

2

．
故当p或q有且只有一个正确时，
若p真q假，则

a＞1 a≤1或a≥ 3 2

，则a≥

3

2

，
若p假q真，则

a≤1 1＜a＜ 3 2

，无解，
故a的取值范围[

3

2

，+∞）．

点评：本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、指数函数的单调性、复合命题的真假，考查了推理能力和计算能力．