Question

17．已知函数f（x）=|x-a|+|x+2|
（1）当a=3时，求不等式f（x）≥7的解集；
（2）若f（x）≤x+4的解集包含[1，2]，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意利用绝对值的意义，求得不等式f（x）≥7的解集．
（2）原命题等价于-2≤a-x≤2在[1，2]上恒成立，即 x-2≤a≤x+2在[1，2]上恒成立，由此求得a的范围．

解答 解：（1）当a=3时，f（x）≥7?|x-3|+|x+2|≥7．
由绝对值的几何意义得，f（x）表示数轴上的x对应点到3、-2对应点的距离之和，
而4和-3对应点到3、-2对应点的距离之和正好等于7，
故不等式|x-3|+|x+2|≥7 的解集为{x|x≤-3或x≥4}．
（2）f（x）≤x+4的解集包含[1，2]，?f（x）≤x+4在[1，2]上恒成立，
?|x-a|+|x+2|≤x+4在[1，2]上恒成立，?当1≤x≤2时，|x-a|+|x+2|≤x+4恒成立，
?当1≤x≤2时，|x-a|+x+2≤x+4恒成立，?当1≤x≤2时，|x-a|≤2 恒成立，
?当1≤x≤2时，-2≤x-a≤2 恒成立，?当1≤x≤2时，-2≤a-x≤2，?x-2≤a≤x+2在[1，2]上恒成立，
?2-2≤a≤1+2，?0≤a≤3，
故a的取值范围是a∈[0，3]．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．