Question

已知函数，，．

（1）当，时，求函数的单调区间；

（2）当时，若对恒成立，求实数的取值范围；

（3）设函数的图象在点、两处的切线分别为、．若，，且，求实数的最小值．

Answer 1

解：函数，求导得．

（1）当，时，，

若，则恒成立，所以在上单调减；

若，则，令，解得或（舍），

当时，，在上单调减；

当时，，在上单调增．

所以函数的单调减区间是，单调增区间是．  ………………4分

（2）当，时，，而，所以

当时，，在上单调减；

当时，，在上单调增．

所以函数在上的最小值为，

所以恒成立，解得或，

又由，得，所以实数的取值范围是．  ……………9分

（3）由知，，而，则，

若，则，所以，

解得，不符合题意；                       ……………………………11分

故，则，

整理得，，由得，，         …………………………13分

令，则，，所以，

设，则，

当时，，在上单调减；

当时，，在上单调增．

所以，函数的最小值为，故实数的最小值为． ……16分