Question

如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．

Answer 1

解法一：设∠AMN＝θ，在△AMN中，

因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ) ． ………………2分

在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)． …………………6分

AP²＝AM²＋MP²－2 AM·MP·cos∠AMP

＝sin²(120°－θ)＋4－2×2× sin(120°－θ) cos(60°＋θ)         ………………………………8分

＝sin²(θ＋60°)－ sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4

＝[1－cos (2θ＋120°)]－ sin(2θ＋120°)＋4

＝－[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋

＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)．                 

    当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP²取得最大值12，即AP取得最大值2．

答：设计∠AMN为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．

解法二(构造直角三角形)：

设∠PMD＝θ，在△PMD中，

∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ．           ……………2分

在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴＝，

AM＝sinθ，∴AD＝sinθ＋2cosθ，(θ≥时，结论也正确)．……………6分

AP²＝AD²＋PD²＝(sinθ＋2cosθ)²＋(2sinθ)²

＝sin²θ＋sinθcosθ＋4cos²θ＋4sin²θ                  

＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋

 此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30°                        

解法三：设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α．

在△AMN中，因为MN＝2，∠MAN＝60°，

所以MN²＝AM²＋AN²－2 AM·AN·cos∠MAN，

即x²＋y²－2xycos60°＝x²＋y²－xy＝4．                

因为x²＋y²－xy＝4，4＋xy＝x²＋y²≥2xy，即xy≤4．

所以AP²≤12，即AP≤2．

当且仅当x＝y＝2时，AP取得最大值2．        

    答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．              

解法四(坐标法)：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．

设M(x₁，0)，N(x₂，x₂)，P(x₀，y₀)．∵MN＝2，

∴(x₁－x₂)²＋3x＝4．                               

＝4＋4x₁x₂≤4＋4×2＝12，                    即AP≤2．                            

   答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小． 解法五(变换法)：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．

设M(x₁，0)，N(x₂，x₂)，P(x₀，y₀)．

∵MN＝2，∴(x₁－x₂)²＋3x＝4．即x＋4x＝4＋2x₁x₂

∴4＋2x₁x₂≥4x₁x₂，即x₁x₂≤2．      …………………4分

∵△MNP为正三角形，且MN＝2．∴PK＝，PK⊥MN．

x₀－x₁＝(x₂－x₁)＋x₂，y₀＝－(x₂－x₁)＋x₂．

∴x₀＝2x₂＋x₁，y₀＝x₁．                      

∴AP²＝x＋y＝(2x₂＋x₁)²＋x＝x＋4x＋2x₁x₂  

＝4＋4x₁x₂≤4＋4×2＝12，                  即AP≤2．                             

答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…

解法六(几何法)：由运动的相对性，可使△PMN不动，点A在运动．

由于∠MAN＝60°，∴点A在以MN为弦的一段圆弧(优弧)上，

设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，

由图形的几何性质知：AP的最大值为PF＋R．           

在△AMN中，由正弦定理知：＝2R，

∴R＝，                                   

∴FM＝FN＝R＝，又PM＝PN，∴PF是线段MN的垂直平分线．

设PF与MN交于E，则FE²＝FM²－ME²＝R²－1²＝．

即FE＝，又PE＝．                           

∴PF＝，∴AP的最大值为PF＋R＝2．             

答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．