Question

函数f（x）=

x2+1

+

x2-6x+10

的性质：
①f（x）的图象是中心对称图形；
②f（x）的图象是轴对称图形；
③函数f（x）的值域为[

13

，+∞）；
④方程f（f（x））=1+

10

有两个解，上述关于函数的性质说法正确的是（　　）

• A、①③
• B、③④
• C、②③
• D、②④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,推理和证明

分析：①因为函数不是奇函数，所以错误．②利用函数对称性的定义进行判断．③利用两点之间线段最短证明．④利用函数的值域进行判断．

解答： 解：①因为f（-x）=

x2+1

+

x2+6x+10

≠-f（x），所以函数不是奇函数，所以图象关于原点不对称，所以错误．
②因为f（3-x）=

(3-x)2+1

+

(3-x)2-6(3-x)+10

=

x2+1

+

x2-6x+10

，所以f（x）的图象关于x=

3

2

对称，所以②正确．
③由题意值f（x）≥f（

3

2

），而f（

3

2

）=

13

2

+

13

2

=

13

，所以f（x）≥

13

，即函数f（x）的值域为[

13

，+∞），正确．
④设f（x）=t，则方程f[f（x）]=1+

10

，等价为f（t）=1+

10

，即t=0，或t=3．
因为函数f（x）≥

13

，所以当t=0或t=3时，不成立，所以方程无解，所以④错误．
故正确的说法为：②③
故选：C

点评：本题综合考查了函数的性质，综合性较强，运算量较大，考查学生的分析能力．