Question

15．已知（x₀，y₀）是直线x+y=2k-1与圆x²+y²=k²+2k-3的公共点，则x₀y₀的取值范围是$[\frac{{11-6\sqrt{2}}}{4}，\frac{{11+6\sqrt{2}}}{4}]$．

Answer 1

分析 先根据直线与圆相交，圆心到直线的距离小于等于半径，以及圆半径为正数，求出k的范围，再根据（x₀，y₀）是直线x+y=2k-1与圆x²+y²=k²+2k-3的交点，满足直线与圆方程，代入直线与圆方程，化简，求出用k表示的x₀y₀的式子，根据k的范围求x₀y₀的取值范围．

解答 解：∵直线x+y=2k-1与圆x²+y²=k²+2k-3
∴圆心（0.0）到直线的距离d=$\frac{|1-2k|}{\sqrt{2}}≤\sqrt{{k}^{2}+2k-3}$
解得$2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤k≤2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又∵圆x²+y²=k²+2k-3，∴k²+2k-3＞0
解得，k＜-3，或k＞1
∴k的取值范围为$2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤k≤2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x_0}+{y_0}=2k-1\\{x_0}^2+{y_0}^2={k^2}+2k-3\end{array}\right.$得${x_0}{y_0}=\frac{3}{2}{（k-1）^2}+\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{11-6\sqrt{2}}}{4}≤{x_0}{y_0}≤\frac{{11+6\sqrt{2}}}{4}$，
∴x₀y₀的取值范围是$[\frac{{11-6\sqrt{2}}}{4}，\frac{{11+6\sqrt{2}}}{4}]$．
故答案为：$[\frac{{11-6\sqrt{2}}}{4}，\frac{{11+6\sqrt{2}}}{4}]$．

点评 本题主要考察了直线与圆相交位置关系的判断，做题时考虑要全面，不要丢情况．