Question

12．已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x）=f（y）f（x-y），且f（1）=$\frac{8}{9}$．
（1）当n∈N^*时，求证：数列{f（n）}是等比数列；
（2）设a_n=（n+1）•f（n），求和：a₁+a₂+a₃+…+a_n．

Answer 1

分析 （1）在已知函数等式中，取x=n+1，y=1，即可证得数列{f（n）}是等比数列；
（2）由（1）求出数列{f（n）}的通项公式，代入a_n=（n+1）•f（n），然后利用错位相减法求和．

解答 （1）证明：取x=n+1，y=1，则由f（x）=f（y）f（x-y），得
f（n+1）=f（1）•f（n）=$\frac{8}{9}f（n）$，
∴数列{f（n）}是以$\frac{8}{9}$为首项，以$\frac{8}{9}$为公比的等比数列；
（2）解：由（1）知，f（n）=$（\frac{8}{9}）^{n}$，
a_n=（n+1）•f（n）=（n+1）$•（\frac{8}{9}）^{n}$，
则S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=$2×（\frac{8}{9}）^{1}+3×（\frac{8}{9}）^{2}+…+（n+1）（\frac{8}{9}）^{n}$，
$\frac{8}{9}{S}_{n}=2×（\frac{8}{9}）^{2}+3×（\frac{8}{9}）^{3}+…+n（\frac{8}{9}）^{n}+（n+1）（\frac{8}{9}）^{n+1}$，
两式作差得：$\frac{1}{9}{S}_{n}=\frac{16}{9}+[（\frac{8}{9}）^{2}+（\frac{8}{9}）^{3}+…+（\frac{8}{9}）^{n}]-（n+1）（\frac{8}{9}）^{n+1}$=$\frac{16}{9}+\frac{\frac{64}{81}[1-（\frac{8}{9}）^{n-1}]}{1-\frac{8}{9}}-（n+1）（\frac{8}{9}）^{n+1}$．
∴${S}_{n}=80-\frac{512-64n}{9}•（\frac{8}{9}）^{n-1}$．

点评 本题考查抽象函数的概念及其应用，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．