Question

【题目】如图，直三棱柱中，，，，为的中点，点为线段上的一点.

（1）若，求证：；

（2）若，异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

(1) 根据三棱柱是直三棱柱的特征，又，可作中点，连接DM,通过线面垂直证明平面，可推出，又，可证

(2) 通过作图，分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角体系，先通过几何法求出长度，分别表示出线面角各点对应的坐标，再用向量公式算出直线与平面所成角的正弦值

证明：（1）取中点，连接，，有，

因为，所以，

又因为三棱柱为直三棱柱，

所以平面平面，

又因为平面平面，

所以平面，

又因为平面，

所以

又因为，，平面，平面，

所以平面，

又因为平面，

所以，因为，

所以.

（2）设，如图以为坐标原点，

分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角体系，

由（1）可知，，所以，

故，，，，，

对平面，，，

所以其法向量可表示为.

又，

所以直线与平面成角的正弦值.