【题目】设函数,其中
,
.
(1)当时,讨论函数
的单调性;
(2)若函数仅在
处有极值,求
的取值范围;
(3)若对于任意的,不等式
在
上恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)在
,
内是增函数,在
,
内是减函数;(2)
;(3)
.
【解析】
(1)代入,由导数
,可求得单调区间。
(2)因为,即
只有一个根x=0,且是奇次根,只需
=0无实数根。
(3)只需,由条件
可知
,从而
恒成立.所以
。
(1).
当时,
.
令,解得
,
,
.
当变化时,
,
的变化情况如下表:
所以在
,
内是增函数,在
,
内是减函数.
(2),显然
不是方程
的根.
为使仅在
处有极值,必须
恒成立,即有
.
解此不等式,得.这时,
是唯一极值.因此满足条件的
的取值范围是
.
(3)由条件可知
,从而
恒成立.
当时,
;当
时,
.
因此函数在
上的最大值是
与
两者中的较大者.
为使对任意的不等式
在
上恒成立,当且仅当
,
即,在
上恒成立,
所以,因此满足条件的
的取值范围是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知集合,
,集合
,且集合
满足
,
.
(1)求实数的值;
(2)对集合,其中
,定义由
中的元素构成两个相应的集合:
,
,其中
是有序数对,集合
和
中的元素个数分别为
和
,若对任意的
,总有
,则称集合
具有性质
.
①请检验集合与
是否具有性质
,并对其中具有性质
的集合,写出相应的集合
和
;
②试判断和
的大小关系,并证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】函数的定义域为
(
).
(1)当时,求函数
的值域;
(2)若函数在定义域上是减函数,求
的取值范围;
(3)求函数在定义域上的最大值及最小值,并求出函数取最值时
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知倾斜角为的直线经过抛物线
:
的焦点
,与抛物线
相交于
、
两点,且
.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)过点的两条直线
、
分别交抛物线
于点
、
和
、
,线段
和
的中点分别为
、
.如果直线
与
的倾斜角互余,求证:直线
经过一定点.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆中心在坐标原点,焦点在
轴上,且过
,直线
与椭圆交于
,
两点(
,
两点不是左右顶点),若直线
的斜率为
时,弦
的中点
在直线
上.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)若以,
两点为直径的圆过椭圆的右顶点,则直线
是否经过定点,若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数为常数
(1)当在
处取得极值时,若关于x的方程
在
上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.
(2)若对任意的,总存在
,使不等式
成立,求实数
的取值范围.
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