Question

【题目】已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，且过，直线与椭圆交于,两点（,两点不是左右顶点），若直线的斜率为时，弦的中点在直线上.

（Ⅰ）求椭圆的方程.

（Ⅱ）若以,两点为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线是否经过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 椭圆的方程为：;(2)见解析.

【解析】

（1）根据斜率公式以及中点坐标公式得，，再由椭圆的标准方程利用点差法得，因此可得，最后与在椭圆上联立方程组解得，（2）根据以,两点为直径的圆过椭圆的右顶点，得，设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入化简得，解得或，即得定点，最后验证斜率不存在的情形也满足.

（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，，

由题意直线的斜率为，弦的中点在直线上，得，，

再根据作差变形得 ，所以，又因为椭圆过得到，

所以椭圆的方程为：.

（Ⅱ）由题意可得椭圆右顶点，

⑴当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，此时要使以,两点为直径的圆过椭圆的右顶点则有以解得或（舍）此时直线为

⑵当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则有，

化简得①

联立直线和椭圆方程得，

， ②

把②代入①得

即

，得或此时直线过或（舍）

综上所述直线过定点.