Question

3．已知函数f（x）=ln（x+3）+ax+2（a∈R）在点x=-2处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若函数g（x）=f（x）+kx（k∈R）在区间（-3，2]上是增函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对其进行求导，再令导数等于0，即可求出a的值，
（2）g（x）=f（x）+kx（k∈R）在区间（-3，2]上是增函数，可以对其进行求导，将问题转化为g′（x）＞0在区间（-3，2]上恒成立，从而求解

解答 解：（1）∵f（x）=ln（x+3）+ax+2，
∴f′（x）=$\frac{1}{x+3}$+a，
∵f（x）在x=-2处取得极值，
∴f′（-2）=$\frac{1}{-2+3}$+a=0，
解得：a=-1，经检验符合题意，
（2）由（1）可知f（x）=ln（x+3）-x+2，
∴g（x）=ln（x+3）+（k-1）x+2，
∴g′（x）=$\frac{1}{x+3}$+k-1
∵g（x）在区间（-3，2]上为增函数，
∴g′（x）＞0在区间（-3，2]上恒成立，
即k≥1-$\frac{1}{x+3}$在（-3，2]上恒成立，而1-$\frac{1}{x+3}$在此区间上的最大值为$\frac{4}{5}$，
故k≥$\frac{4}{5}$．

点评 本题主要考查函数的极值与导数的关系，以及利用导数求函数的单调性，综合性比较强；