Question

19．给出四个结论：（1）若a＞b＞0，且m＞0，则$\frac{b}{a}$＜$\frac{b+m}{a+m}$；（2）若a，b∈R，则$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$≥（$\frac{a+b}{2}$）²；（3）若a，b∈R，则a²-2ab+2b²＜2b-2；（4）若a＞0，b＞0，则a^ab^b≥a^bb^a，其中正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由作差法判断（1）（3）；利用公式法判断（2）；利用作商法判断④．

解答 解：对于（1），$\frac{b}{a}-\frac{b+m}{a+m}=\frac{（b-a）m}{a（a+m）}$，∵a＞b＞0，m＞0，
∴$\frac{（b-a）m}{a（a+m）}$＜0，则$\frac{b}{a}$＜$\frac{b+m}{a+m}$，∴①正确；
对于（2），$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{a}^{2}+{b}^{2}}{4}$$≥\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2ab}{4}$≥（$\frac{a+b}{2}$）²，∴②正确；
对于（3），∵a²-2ab+2b²-（2b-2）=a²-2ab+b²+b²-2b+1+1=（a-b）²+（b-1）²+1＞0，
∴a²-2ab+2b²，＞2b-2，∴③错误；
对于（4），若a＞0，b＞0，由$\frac{{a}^{a}{b}^{b}}{{a}^{b}{b}^{a}}={a}^{a-b}•{b}^{b-a}$=$（\frac{a}{b}）^{a-b}$，
当a＞b时，$（\frac{a}{b}）^{a-b}＞1$，当a＜b时，$（\frac{a}{b}）^{a-b}＞1$，∴a^ab^b≥a^bb^a，则④正确．
∴正确命题的个数为3．
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用作差法、作商法及公式法进行不等式的大小比较，是中档题．