Question

已知α、β都是锐角，cosα=

1

3

，sin（α+β）=

2 2 + 3

6

，求β的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：将β用（α+β）-α来表示，由此cosβ=cos[（α+β）-α]=cosαcos（α+β）+sinαsin（α+β），利用同角三角函数公式求出数据，代入计算即可．

解答： 解：∵α、β都是锐角，
∴sinα=

1-cos2α

=

2 2

3

，
sin（α+β）=

2 2 + 3

6

，
∵

2 2

3

＞

2 2 + 3

6

，∴α+β是钝角．
cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

25-4 6

6

=-

2 6 -1

6

，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cosαcos（α+β）+sinαsin（α+β）
=

1

3

×(-

2 6 -1

6

)+

2 2

3

×

2 2 + 3

6

=

8+2 6 -2 6 +1

18

=

1

2

．
β=60°．

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式及应用，关键将α+β视为整体，将β用（α+β）-α来表示，实现了角的代换．