Question

已知椭圆的中心是坐标原点O，它的短轴长为2

2

，一个焦点F的坐标为（c，0）（c＞0），一个定点A的坐标为(

10

c

-c，0)，且

OF

=2

FA，

过点A的直线与椭圆相交于P，Q两点：
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）如果OP⊥OQ，求直线PQ的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意求出b，根据F，A的坐标得到

OF

，

FA

的坐标，由

OF

=2

FA，

求得c的值，结合隐含条件求得a的值，则椭圆方程可求，进一步求得离心率；
（2）设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数关系求得P，Q的横纵坐标的积，由OP⊥OQ得其对应向量的数量积为0，代入后求得k的值，则直线PQ的方程可求．

解答： 解：（1）由题意知，b=

2

，F（c，0），A(

10

c

-c，0)，

OF

=(c，0)，

FA

=(

10

c

-2c，0)，
由

OF

=2

FA，

得c=

20

c

-4c，解得：c=2．
∴a²=b²+c²=6，
∴椭圆的方程为

x2

6

+

y2

2

=1，
离心率为

2

6

=

6

3

；
（2）A（3，0），
设直线PQ的方程为y=k（x-3），
联立

y=k(x-3) x2 6 + y2 2 =1

，得（1+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x1+x2=

18k2

1+3k2

，x1x2=

27k2-6

1+3k2

，
y1y2=k2[x1x2-3(x1+x2)+9]=k2[

27k2-6

1+3k2

-

54k2

1+3k2

+9]=

3k2

1+3k2

由OP⊥OQ，得x₁x₂+y₁y₂=0，
即

27k2-6

1+3k2

+

3k2

1+3k2

=

30k2-6

1+3k2

=0，
解得：k=±

5

5

，符合△＞0，
∴直线PQ的方程为y=±

5

5

(x-3)．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常采用联立直线与圆锥曲线，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求解，是中档题．