Question

【题目】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB= ，tanC= ． （Ⅰ）求tanB和tanA；
（Ⅱ）若c=1，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵cosB= ， ∴B为锐角，tanB= ，
又tanC= ，tan（B+C）= = =1，
∴tanA=tan[180°﹣（B+C）]=﹣tan（B+C），
∴tanA=﹣1．
（Ⅱ）因0°＜A＜180°，由（Ⅰ）结论可得：A=135°，
∴在△ABC中，B，C均为锐角
∵cosB= ，tanC= ，
∴sinB= ，sinC= ．
∴由 ，得a= ，
故△ABC的面积为：S= acsinB=
【解析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanB的值，利用两角和的正切函数公式可求tan（B+C），利用三角形内角和定理，诱导公式即可得解tanA的值．（Ⅱ）结合范围0°＜A＜180°，由（Ⅰ）可得A=135°，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，sinB，sinC的值，利用正弦定理可求a，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用两角和与差的正切公式和正弦定理的定义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握两角和与差的正切公式：；正弦定理:．