【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)当时,求函数
的极值;
(Ⅱ)当时,讨论函数
单调性;
(Ⅲ)是否存在实数,对任意的
,
,且
,有
恒成立?若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ);
; (Ⅱ)见解析;(Ⅲ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)当时,
,求函数的导数,并且求
的
值,判断两侧的单调性,求极值;(Ⅱ)当
时,
,讨论两根
和
的大小关系,从而得到函数的单调区间;(Ⅲ)设
,将不等式整理为
,即说明函数
是单调递增函数,即
恒成立,求
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)当时,
,
.
当或
时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减,
所以时,
;
时,
.
(Ⅱ)当时,
,
①当,即
时,由
可得
或
,此时
单调递增;由
可得
,此时
单调递减;
②当,即
时,
在
上恒成立,此时
单调递增;
③当,即
时,由
可得
或
,此时
单调递增;由
可得
,此时
单调递减.
综上:当时,
增区间为
,
,减区间为
;
当时,
增区间为
,无减区间;
当时,
增区间为
,
,减区间为
.
(Ⅲ)假设存在实数,对任意的
,
,且
,有
恒成立,
不妨设,则由
恒成立可得:
恒成立,
令,则
在
上单调递增,所以
恒成立,
即恒成立,
∴,即
恒成立,又
,
∴在
时恒成立,
∴,
∴当时,对任意的
,
,且
,有
恒成立.
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【题目】选修4-4:极坐标与参数方程
已知平面直角坐标系,以
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的参数方程为
为参数). 点
是曲线
上两点,点
的极坐标分别为
.
(1)写出曲线的普通方程和极坐标方程;
(2)求的值.
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【题目】【天津市红桥区重点中学八校2017届高三4月联考数学(文)】已知椭圆的中心在原点,离心率等于
,它的一个短轴端点恰好是抛物线
的焦点
(1)求椭圆的方程;
(2)已知、
是椭圆上的两点,
,
是椭圆上位于直线
两侧的动点.①若直线
的斜率为
,求四边形
面积的最大值;
②当,
运动时,满足
,试问直线
的斜率是否为定值,请说明理由
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【题目】“丁香”和“小花”是好朋友,她们相约本周末去爬歌乐山,并约定周日早上8:00至8:30之间(假定她们在这一时间段内任一时刻等可能的到达)在歌乐山健身步道起点处会合,若“丁香”先到,则她最多等待“小花”15分钟.若“小花”先到,则她最多等待“丁香”10分钟,若在等待时间内对方到达,则她俩就一起快乐地爬山,否则超过等待时间后她们均不再等候对方而孤独爬山,则“丁香”和“小花”快乐地一起爬歌乐山的概率是(用数字作答)
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【题目】如图,四边形是梯形.四边形
是矩形.且平面
平面
,
,
,
,
是线段
上的动点.
(Ⅰ)试确定点的位置,使
平面
,并说明理由;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求平面与平面
所成锐二面角的余弦值.
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【题目】在四个函数y=sin|x|,y=cos|x|,y= ,y=lg|sinx|中,以π为周期,在
上单调递增的偶函数是( )
A.y=sin|x|
B.y=cos|x|
C.y=
D.y=lg|sinx|
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【题目】写出下列命题的否定,并判断其真假:
(1)p:不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根;
(2)q:存在一个实数x,使得x2+x+1≤0;
(3)r:等圆的面积相等,周长相等.
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