Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f(

α

2

)=

4

5

，0＜α＜

π

3

，求cosα的值．

Answer 1

分析：（I）观察图象可得函数的最值为1，且函数先出现最大值可得A=1；函数的周期T=π，结合周期公式T=

2π

ω

可求ω；由函数的图象过（

π

6

，1）代入可得φ
（II）由（I）可得f（x）=sin（2x+

π

6

），从而由f（

α

2

）=

4

5

，代入整理可得sin（α+

π

6

）=

4

5

，结合已知0＜a＜

π

3

，可得cos（α+

π

6

）=

3

5

．，利用α=[(α+

π

6

)-

π

6

]，代入两角差的余弦公式可求

解答：解：（Ⅰ）由图象知A=1
f（x）的最小正周期T=4×（

5π

12

-

π

6

）=π，故ω=

2π

T

=2
将点（

π

6

，1）代入f（x）的解析式得sin（

π

3

+φ）=1，
又|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

6

故函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+

π

6

）

（Ⅱ）f（

α

2

）=

4

5

，即sin（α+

π

6

）=

4

5

，注意到0＜a＜

π

3

，则

π

6

＜α+

π

6

＜

π

2

，
所以cos（α+

π

6

）=

3

5

．
又cosα=[（α+

π

6

）-

π

6

]=cos（α+

π

6

）cos

π

6

+sin（α+

π

6

）sin

π

6

=

3 3 +4

10

点评：本题主要考查了（i）由三角函数的图象求解函数的解析式，其步骤一般是：由函数的最值求解A，（但要判断是先出现最大值或是最小值，从而判断A的正负号）由周期求解ω=

2π

T

，由函数图象上的点（一般用最值点）代入求解φ；
（ii）三角函数的同角平方关系，两角差的余弦公式，及求值中的拆角的技巧，要掌握常见的拆角技巧：①2α=（α+β）+（α-β）②2β=（α+β）-（α-β）③α=（α+β）-β④β=（α+β）-α