Question

7．（1）已知α为第二象限角，且 sinα=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，求$\frac{sin（α+\frac{π}{4}）}{sin2α+cos2α+1}$的值．
（2）已知α∈（0，$\frac{π}{4}$），β∈（0，π），且tan（α-β）=$\frac{1}{2}$，tanβ=-$\frac{1}{7}$，求tan（2α-β）的值及角2α-β．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用两角和差的三角公式求得要求式子的值．
（2）利用两角和差的三角公式求得 tan（2α-β）=tan[（2α-2β）+β]的值，再结合2α-β的范围，求得2α-β的值．

解答 解：（1）∵已知α为第二象限角，且 sinα=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，∴cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{sin（α+\frac{π}{4}）}{sin2α+cos2α+1}$=$\frac{sinαcos\frac{π}{4}+cosαsin\frac{π}{4}}{2sinαcosα+{2cos}^{2}α}$=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}•\frac{\sqrt{2}}{2}+（-\frac{1}{4}）•\frac{\sqrt{2}}{2}}{2•\frac{\sqrt{15}}{4}•（-\frac{1}{4}）+2•\frac{1}{16}}$=-$\sqrt{2}$．
（2）∵已知α∈（0，$\frac{π}{4}$），β∈（0，π），且tan（α-β）=$\frac{1}{2}$，tanβ=-$\frac{1}{7}$，
∴β∈（$\frac{π}{2}$，π），α-β∈（-π，-$\frac{π}{2}$），2α-β∈（-π，0）．
∵tan（2α-2β）=$\frac{2tan（α-β）}{1{-tan}^{2}（α-β）}$=$\frac{4}{3}$＞1，
∴tan（2α-β）=tan[（2α-2β）+β]=$\frac{tan（2α-2β）+tanβ}{1-tan（2α-2β）tanβ}$=$\frac{\frac{4}{3}-\frac{1}{7}}{1-\frac{4}{3}•（-\frac{1}{7}）}$=1，
∴2α-β=-$\frac{3π}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．