Question

17．一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f₁（x）=x³，f₂（x）=5^|x|，f₃（x）=2，f₄（x）=$\frac{1}{x}$，f₅（x）=sin（$\frac{π}{2}$-x），f₆（x）=xcosx．
（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数．在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；
（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）老远函数的奇偶性的定义先判定函数的奇偶性．所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；可得基本事件总数．再利用古典概率计算公式即可得出．
（II）老远古典概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式可得概率，分布列及其数学期望．

解答 解：（Ⅰ）f₁（x）=x³为奇函数，f₂（x）=5^|x|，为偶函数，f₃（x）=2为偶函数，f₄（x）=$\frac{1}{x}$为奇函数，f₅（x）=sin（$\frac{π}{2}$-x）=cosx为偶函数，f₆（x）=xcosx为奇函数．
所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；
另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；故基本事件总数为${∁}_{3}^{1}{∁}_{3}^{1}$+${∁}_{3}^{2}$=12．
满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为${∁}_{3}^{2}$．
故所求概率为P=$\frac{{∁}_{3}^{2}}{12}$=$\frac{1}{4}$．
（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4． P（ξ=1）=$\frac{{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{6}^{1}}$=$\frac{1}{2}$，P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{6}^{1}}$•$\frac{{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{5}^{1}}$=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{6}^{1}}$•$\frac{{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{5}^{1}}$•$\frac{{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{4}^{1}}$=$\frac{3}{20}$，P（ξ=4）=$\frac{{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{6}^{1}}$•$\frac{{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{5}^{1}}$•$\frac{{∁}_{1}^{1}}{{∁}_{4}^{1}}$•$\frac{{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{20}$．
故ξ的分布列为

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{20}$

Eξ=$1×\frac{1}{2}+2×\frac{3}{10}$+$3×\frac{3}{20}$+4×$\frac{1}{20}$=$\frac{7}{4}$．
∴ξ的数学期望为$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了相互独立事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望计算公式、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．