Question

9．设函数f（x）=sinx（cosx-$\sqrt{3}$sinx）．
（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；
（2）设△ABC的三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且f（B）=0，a、b、$\sqrt{3}$c成公差大于零的等差数列，求$\frac{sinA}{sinC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由二倍角公式以及变形、两角和的正弦公式化简解析式，由整体思想和正弦函数的增区间求出f（x）的增区间，再求出函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；
（2）由（1）化简f（B）=0，由内角的范围、特殊角的三角函数值求出B，由等差中项的性质列出式子求出b，并表示出边的大小关系，由余弦定理化简后结合条件求出$\frac{a}{c}$的值，由正弦定理求出答案．

解答 解：（1）$f（x）=sinx（cosx-\sqrt{3}sinx）$=sinxcosx-$\sqrt{3}$sin²x
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$•（1-cos2x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$（k∈Z），
∴函数的增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
∵x∈[0，π]，∴函数的增区间为[0，$\frac{π}{12}$]，[$\frac{7π}{12}$，π]．
（2）由（1）得，f（B）=sin（2B+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0，
∴sin（2B+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由0＜B＜π得，2B+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，解得B=$\frac{π}{6}$，
由A+B+C=π得，A+C=$\frac{5π}{6}$，
∵$a、b、\sqrt{3}c$ 成公差大于零的等差数列，
∴$\sqrt{3}$c＞a，b＞a，且2b=a+$\sqrt{3}$c，则b=$\frac{a+\sqrt{3}c}{2}$，
由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB
∴$（\frac{a+\sqrt{3}c}{2}）^{2}={a}^{2}+{c}^{2}-\sqrt{3}ac$，
化简得，$3{a}^{2}-6\sqrt{3}ac+{c}^{2}=0$，
即$3（\frac{a}{c}）^{2}-6\sqrt{3}•\frac{a}{c}+1=0$，
解得$\frac{a}{c}$=$\frac{\sqrt{3}（3+2\sqrt{2}）}{3}$或$\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{3}（3-2\sqrt{2}）}{3}$，
又$\sqrt{3}$c＞a，则$\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{3}（3-2\sqrt{2}）}{3}$，
∴由正弦定理得，$\frac{sinA}{sinC}$=$\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{3}（3-2\sqrt{2}）}{3}$．

点评 本题考查正弦函数的单调性，正弦、余弦定理，三角恒等变换中的公式，以及等差中项的性质等等的应用，考查整体思想，化简、变形、运算能力．