Question

19．已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0且a≠1）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间即可；
（2）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e-1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（-1），最小值f（0）=1，由f（1）-f（-1）的单调性，判断f（1）与f（-1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e-1求出a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=a^x+x²-xlna，
∴f′（x）=a^xlna+2x-lna=（a^x-1）lna+2x，
∵0＜a＜1或a＞1，
∴当x∈（0，+∞）时，lna与a^x-1同号，
∴f′（x）＞0，∴函数在（0，+∞）上单调递增．
x∈（-∞，0）时，lna与a^x-1异号，
∴函数在（-∞，0）上单调递减．
（2）∵存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，
∴当x∈[-1，1]时，|（f（x））_max-（f（x））_min|=（f（x））_max-（f（x））_min≥e-1．
∵f（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，
∴当x∈[-1，1]时，（f（x））_min=f（0）=1，
（f（x））_max=max{f（-1），f（1）}，
而f（1）-f（-1）=（a+1-lna）-（$\frac{1}{a}$+1+lna），
记g（t）=t-$\frac{1}{t}$-2lnt（t＞0 ），
∵g′（t）=1+$\frac{1}{{t}^{2}}$-$\frac{2}{t}$=（$\frac{1}{t}$-1）²≥0，（当t=1时取等号），
∴g（t）=t-$\frac{1}{t}$-2lnt（t＞0 ）在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，
∴当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0．
也就是当a＞1时，f（1）＞f（-1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（-1）；
①当a＞1时，由f（1）-f（0）≥e-1⇒a-lna≥e-1⇒a≥e，
②当0＜a＜1时，由f（-1）-f（0）≥e-1，
可得$\frac{1}{a}$+lna≥e-1，$\frac{1}{e}$≥a＞0
综上知，所求a的取值范围为 （0，$\frac{1}{e}$]∪[e，+∞）．

点评 本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，属于中档题．