Question

【题目】点 M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线焦点， =60°，|FM|=4．

（1）求抛物线C方程；

（2）D（﹣1，0），过F的直线l交抛物线C与A、B两点，以F为圆心的圆F与直线AD相切，试判断并证明圆F与直线BD的位置关系．

Answer 1

【答案】（1）y2=4x（2）圆F与直线BD相切

【解析】试题分析：（1）作 垂直于准线与 ，利用抛物线的定义证明为等边三角形，即可求抛物线的方程；（2）分类斜率存在与不存在两种情况讨论，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理、点到直线距离公式证明到直线的距离等于圆的半径，即可得出结论.

试题解析：（I）抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为l′：x=﹣，过M作MN⊥l′于点N，连接NF，则|MN|=|FM|，

∵∠NMF=∠MFx=60°，∴△MNF为等边三角形，

∴|NF|=4，∴p=2，

∴抛物线C的方程为y2=4x；

（II）直线l的斜率不存在时，△ABD为等腰三角形，且|AD|=|BD|．

∴圆F与直线BD相切；

直线l的斜率存在时，设方程为y=k（x﹣1），代入抛物线方程，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=1，∴x1=，

直线AD的方程为y=（x+1），即y1x﹣（x1+1）y+y1=0，

∴R2=，

直线BD的方程为y2x﹣（x2+1）y+y2=0，

F到直线BD的距离d，d2==，

∴R2=d2，

∴R=d，

∴圆F与直线BD相切，

综上所述，圆F与直线BD相切．