Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点A（1，

2

2

），且离心率为

2

2

，过点B（2，0）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求

.

BM

•

.

BN

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点A（1，

2

2

），且离心率为

2

2

，可得

e= c a = 2 2 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，解得即可．
（II）由题意可知直线l的斜率存在，设其方程为y=k（x-2）．与椭圆方程联立得到△＞0即根与系数的关系，再利用数量积即可得出．

解答：解：（Ⅰ） 由椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点A（1，

2

2

），且离心率为

2

2

，
可得

e= c a = 2 2 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，解得

a2=2 b=c=1

．
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由题意可知直线l的斜率存在，设其方程为y=k（x-2）．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．
△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，得0≤k2＜

1

2

．
∴x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

．
∵

BM

=(x1-2，y1)，

BN

=(x2-2，y2)，
∴

BM

•

BN

=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=（1+k²）（x₁-2）（x₂-2）=（1+k²）[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]=(1+k2)

2

1+2k2

=1+

1

1+2k2

，
∵0≤k2＜

1

2

，∴

3

2

＜1+

1

2k2

≤2，
∴

.

BM

•

.

BN

的取值范围是(

3

2

，2]．

点评：题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到判别式△＞0即根与系数的关系、数量积运算等基础知识与基本技能，属于难题．