Question

（本题满分14分）
设直线与抛物线交于不同两点A、B，F为抛物线的焦点。
（1）求的重心G的轨迹方程；
（2）如果的外接圆的方程。

Answer 1

① ；②。

试题分析：（1）设出A、B、G的坐标，联立直线与抛物线，利用重心坐标公式，即可求得重心G的轨迹方程；
（2）确定AB的中垂线方程为x+y-6=0，令△ABF外接圆圆心为C（a，6-a），求出弦AB的长，C到AB的距离，利用|CA|=|CF|，即可求得圆心坐标与半径，从而可得△ABF的外接圆的方程。
解①设，，，重心，
∴△＞0＜1且（因为A、B、F不共线）
故
∴重心G的轨迹方程为 ………6分（范围不对扣1分）
②，则，设中点为
∴  ∴
那么AB的中垂线方程为，令△ABF外接圆圆心为
又，C到AB的距离为
∴
    ∴   ∴
∴所求的圆的方程为   ………14分
点评：解决该试题的关键是确定圆的圆心与半径。利用三角形的重心坐标公式及利用待定系数法求解圆的方程，主要体现了方程思想的应用。