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已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点B恰好是抛物线的焦点,且离心率等于,直线与椭圆C交于M,N两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)椭圆C的右焦点F是否可以为的垂心?若可以,求出直线的方程;若不行,请说明理由.
(Ⅰ);(Ⅱ)

试题分析:(Ⅰ)设椭圆C的方程:
由题意知
∴ 椭圆C的方程为: 
(Ⅱ)假设存在这样的直线,使得的垂心,直线BF的斜率为
从而直线的斜率为,设直线的方程为
,设
,且


,解得 
时点B为直线与椭圆的一个交点,不合题意舍去;
时,直线与椭圆相交两点,且满足题意;
综上可知直线的方程为时,椭圆C的右焦点F是可以为的垂心 。
点评:本题考查了椭圆方程的求法,以及存在性问题的做法,为圆锥曲线的常规题,应当掌握。考查了学生综合分析问题的能力,知识的迁移能力以及运算能力。解题时要认真审题,仔细分析。
练习册系列答案
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