Question

20．以下各式当n→∞时，极限值为$\frac{1}{2}$的是（　　）

• A． $\frac{n-2}{2n（n+1）}$
• B． $\frac{2{n}^{2}+1}{4n+1}$
• C． （$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）$\sqrt{n}$
• D． $\frac{1+4+7+…+（3n-2）}{2{n}^{2}}$

Answer 1

分析 对选项一一加以判断，运用数列的极限和分子有理化、等差数列的求和公式，即可得到C正确．

解答 解：对于A，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n-2}{2{n}^{2}+2n}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\frac{n-2}{{n}^{2}}}{2+\frac{2}{n}}$=$\frac{0}{1+0}$=0；
对于B，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2{n}^{2}+1}{4n+1}$不存在；
对于C，$\underset{lim}{n→∞}$（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）$\sqrt{n}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}$=$\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$；
对于D，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1+4+7+…+（3n-2）}{2{n}^{2}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{（3n-1）n}{4{n}^{2}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{3-\frac{1}{n}}{4}$=$\frac{3}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查数列的极限的求法，同时考查等差数列的求和公式的运用，常见数列的极限，属于中档题．