试题分析:(Ⅰ)利用函数
的导函数
来研究
的单调性,进一步求极值. (Ⅱ)构造函数
通过导函数
来研究
的单调性,(Ⅲ)注意运用第(Ⅱ)问产生的单调性结论来研究函数
在区间
上的增减性,判断函数值取得负值时
的取值范围,尤其注意在
时
不成立的证明,
试题解析:(Ⅰ)当
时,
,定义域为
,
,当
时,
;当
时,
.
所以单调减区间为
;单调增区间为
,
故
时,
有极小值,极小值为1. 3分
(Ⅱ)
,则
, 4分
因为
所以
令
得
.
若
,即
,则
恒成立,则
在
上为增函数;
若
,即
,则
时,
,
时
,
所以此时单调减区间为
;单调增区间为
7分
(Ⅲ)由第(Ⅱ)问的解答可知只需在
上存在一点
,使得
.
若
时,只需
,解得
,又
,所以
满足条件. 8分
若
,即
时,同样可得
,不满足条件. 9分
若
,即
时,
在
处取得最小值, 10分
令
,
即
,所以
11分
设
,考察式子
,由
,所以左端大于1,而右端小于1,所以不成立.
当
,即
时,
在
上单调递减,只需
得
>
,又因为
,所以,
>
或
12分