Question

已知函数f(x)＝x²＋2ax＋3，x∈[－4,6]．

(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；

(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．

Answer 1

 [解析]　(1)a＝－2时，f(x)＝x²－4x＋3＝(x－2)²－1，

∵x∈[－4,6]，∴f(x)_min＝f(2)＝－1，f(x)_max＝f(－4)＝35.

(2)f(x)＝x²＋2ax＋3＝(x＋a)²＋3－a²，

要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，

应有－a≤－4或－a≥6，∴a≥4或a≤－6.

(3)a＝1时，f(x)＝x²＋2x＋3＝(x＋1)²＋2，f(|x|)＝(|x|＋1)²＋2.

令t＝|x|(－4≤x≤6)，则0≤t≤6，

∵t＝|x|在[－4,0]上单调递减，在[0,6]上单调递增，y＝(t＋1)²＋2在[0,6]上单调递增，

∴f(|x|)在[－4,0]上单调递减，在[0,6]上单调递增．