Question

13．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，若点P在正方形内（不含边界），且满足$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$=1
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）求|$\overrightarrow{PA}$+2$\overrightarrow{PB}$|的取值范围；
（Ⅲ）求|$\overrightarrow{PC}$-2$\overrightarrow{PD}$|²的取值范围．

Answer 1

分析 （I）以A为原点距离平面直角坐标系，设P（x，y），求出$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{PB}$的坐标，根据$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$=1列方程得出x，y的关系得出轨迹方程；
（2）计算|$\overrightarrow{PA}$+2$\overrightarrow{PB}$|²，使用等量代换消去平方项得出|$\overrightarrow{PA}$+2$\overrightarrow{PB}$|²关于x的函数，根据x的范围得出答案；
（3）计算|$\overrightarrow{PC}$-2$\overrightarrow{PD}$|²，消去平方项得出|$\overrightarrow{PC}$-2$\overrightarrow{PD}$|²关于x，y的函数，利用线性规划解出范围．

解答 解：（I）分别以AB，AD为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则A（0，0），B（2，0），设P（x，y），
则$\overrightarrow{PA}$=（-x，-y），$\overrightarrow{PB}$=（2-x，-y）．
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=x（x-2）+y²=1，整理得：x²+y²-2x-1=0．
即动点P的轨迹方程为x²+y²-2x-1=0（0＜x＜2，0＜y＜2）．
（II）$\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}$=（4-3x，-3y），
∴（$\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}$）²=（4-3x）²+9y²=9x²+9y²-24x+16，
由（I）得x²+y²=2x+1，
∴（$\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}$）²=18x+9-24x+16=-6x+25．
∵0＜x＜2，
∴13＜-6x+25＜25，
∴$\sqrt{13}$＜|$\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}$|＜5．
（III）$\overrightarrow{PC}$=（2-x，2-y），$\overrightarrow{PD}$=（-x，2-y），
$\overrightarrow{PC}-2\overrightarrow{PD}$=（x+2，y-2），
∴|$\overrightarrow{PC}$-2$\overrightarrow{PD}$|²=（x+2）²+（y-2）²=x²+y²+4x-4y+8=6x-4y+9．
令z=6x-4y+9，则y=$\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}-\frac{z}{4}$，
由图形可知当直线y=$\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}-\frac{z}{4}$经过点M（2，1）时，直线截距最小，即z最大，
当直线y=$\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}-\frac{z}{4}$经过点N（0，1）时，直线截距最大，即z最小．
∴z的最大值为12-4+9=17，z的最小值为0-4+9=5．
∴|$\overrightarrow{PC}$-2$\overrightarrow{PD}$|²的取值范围是（5，17）．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，函数的单调性与线性规划应用，属于中档题．