Question

13．证明函数f（x）=log_a$\frac{{a}^{x}+1}{2}$（a＞1）在[0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 直接利用函数单调性的定义，结合指数函数和对数函数的单调性证明．

解答 证明：设x₁，x₂为[0，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=lo{g}_{a}\frac{{a}^{{x}_{1}}+1}{2}-log\frac{{a}^{{x}_{2}}+1}{2}$=$lo{g}_{a}\frac{{a}^{{x}_{1}}+1}{{a}^{{x}_{2}}+1}$，
当a＞1时，∵y=a^x为增函数，∴$0＜{a}^{{x}_{1}}+1＜{a}^{{x}_{2}}+1$，即0＜$\frac{{a}^{{x}_{1}}+1}{{a}^{{x}_{2}}+1}＜1$，
又y=log_ax也为增函数，
∴$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=lo{g}_{a}\frac{{a}^{{x}_{1}}+1}{2}-log\frac{{a}^{{x}_{2}}+1}{2}$=$lo{g}_{a}\frac{{a}^{{x}_{1}}+1}{{a}^{{x}_{2}}+1}$＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）=log_a$\frac{{a}^{x}+1}{2}$（a＞1）在[0，+∞）上是增函数．

点评 本题考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，考查了简单的复合函数的单调性，是中档题．