Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，点P（2，1）是椭圆上一定点，若斜率为

1

2

的直线与椭圆交于不同的两点A、B．
（ I）求椭圆方程；
（ II）求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析：（ I）由e=

c

a

=

3

2

，知c=

3

2

a，b=

1

2

a，由此能求出椭圆方程．
（ II）设直线AB的方程为：y=

1

2

x+m，与椭圆联列方程组得，

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

，代入得：2x²+4mx+4m²-8=0，再由根的判别式和韦达定理能求出S_△PAB的最大值．

解答：解：（ I）∵e=

c

a

=

3

2

，
∴c=

3

2

a，b=

1

2

a，
又P（2，1）在椭圆上，代入椭圆方程，
得：

4

a2

+

1

b2

=1，
∴a²=8，b²=2，
椭圆方程为：

x2

8

+

y2

2

=1…（6分）
（ II）设直线AB的方程为：y=

1

2

x+m，
与椭圆联列方程组得，

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

，
代入得：2x²+4mx+4m²-8=0，…（8分）
∵△=16m²-8（4m²-8）＞0，
解得，-2＜m＜2
由韦达定理得：x₁+x₂=-2m，
x₁x₂=2m²-4|AB|=

1+ 1 4

•

4m2-4(2m2-4)

=

5

2

•

16-4m2

=

5

•

4-m2

P到直线AB的距离：d=

|2m|

5

，…（12分）
S△PAB=

1

2

•

5

•

4-m2

•

|2m|

5

=

(4-m2)m2

≤2
当4-m²=m²，
即m=±

2

时，
S_△PAB有最大值2     …（15分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．