【题目】已知关于x的函数y= (t∈R)的定义域为D,存在区间[a,b]D,f(x)的值域也是[a,b].当t变化时,b﹣a的最大值= .
【答案】
【解析】解:关于x的函数y=f(x)= =(1﹣t)﹣
的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),
且函数在(﹣∞,0)、(0,+∞)上都是增函数.
故有a=f(a),且b=f(b),即 a= ,b=
.
即 a2+(t﹣1)a+t2=0,且 b2+(t﹣1)b+t2=0,
故a、b是方程x2+(t﹣1)x+t2=0的两个同号的实数根.
由判别式大于0,容易求得t∈(﹣1, ).
而当t=0时,函数为y=1,不满足条件,故t∈(﹣1, )且t≠0.
由韦达定理可得b﹣a= =
,故当t=﹣
时,b﹣a取得最大值为
,
故答案为: .
由函数的单调性可得a=f(a),且b=f(b),故a、b是方程x2+(t﹣1)x+t2=0的两个同号的实数根.由判别式大于0,容易求得t∈(﹣1, ).由韦达定理可得b﹣a=
=
,利用二次函数的性质求得b﹣a的最大值.
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【题目】某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生,按其数学成绩(均为整数)分成六组后得到如右部分频率分布直方图,观察图中的信息,
回答下列问题:
(1)补全频率分布直方图;并估计本次考试的数学平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)用分层抽样的方法在分数段为的学生成绩中抽取一个容量为6的样本,再从这6个样本中任取2人成绩,求至多有1人成绩在分数段
内的概率.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知圆
:
和圆
:
.
(1)若直线过点
,且被圆
截得的弦长为
,求直线
的方程;
(2)设为平面直角坐标系上的点,满足:存在过点
的无穷多对相互垂直的直线
和
,它们分别与圆
和
相交,且直线
被圆
截得的弦长与直线
被圆
截得的弦长相等,试求所有满足条件的点
的坐标.
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【题目】已知命题p:方程 表示焦点在y轴上的椭圆,命题q:关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根,若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,求实数m的取值范围.
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【题目】某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到如下资料:
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
温差x/摄氏度 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数y/颗 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
该农科所确定的研究方案是:先从这5组数据中选取2组,用剩下的3组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.
(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据的概率;
(Ⅱ)若选取的是12月1日与12月5日的2组数据,请根据12月2日至4日的数据,求出关于
的线性回归方程
,由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠?
附:参考格式:
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【题目】已知函数f(x)=ex(x2﹣bx)(b∈R)在区间[ ,2]上存在单调递增区间,则实数b的取值范围是( )
A.(﹣∞, )
B.(﹣∞, )
C.(﹣ ,
)
D.( ,+∞)
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