Question

7．函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）对任意x∈R，都有f（-x）+f（x）=0，f（x）+f（x+$\frac{π}{2}$）=0，则f（$\frac{π}{4}$）=（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$），由f（-x）+f（x）=0，可得φ-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，结合范围0＜φ＜π，可求φ，由f（0）+f（$\frac{π}{2}$）=0，解得：ω=2k，k∈Z，又ω＞0，不妨取k=1，可得ω=2，可得解析式f（x）=2sin2x，即可计算求得f（$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$），f（-x）+f（x）=0，
∴函数y=f（x）为奇函数，φ-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，解得：φ=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{6}$，可得f（x）=2sinωx，
∵对任意x∈R，f（x）+f（x+$\frac{π}{2}$）=0，可得：f（0）+f（$\frac{π}{2}$）=0，
∴2sin0+2sin$\frac{π}{2}$ω=0，解得：$\frac{π}{2}$ω=kπ，k∈Z，解得：ω=2k，k∈Z，
∵ω＞0，不妨取k=1，可得ω=2，
∴f（x）=2sin2x，可得：f（$\frac{π}{4}$）=2sin（2×$\frac{π}{4}$）=2．　
故选：D．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．