Question

15．$（2x-1）{（\frac{1}{x}+2x）^6}$的展开式中的常数项是-160．

Answer 1

分析 求出原式的第二个因式中$\frac{1}{x}$项的系数，与第一个因式中2x的系数之积，再加上（$\frac{1}{x}$+2x）⁶的展开式中常数项与-1的积；即为所求的常数项．

解答 解：根据题意，得；
（2x-1）（$\frac{1}{x}$+2x）⁶展开式中的常数项，
是（$\frac{1}{x}$+2x）⁶的展开式中$\frac{1}{x}$项的系数与2x的系数之积，
加上（$\frac{1}{x}$+2x）⁶的展开式中常数项与-1的积；
又（$\frac{1}{x}$+2x）⁶展开式的通项公式为：
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•${（\frac{1}{x}）}^{6-r}$•（2x）^r=2^r•${C}_{6}^{r}$•x^2r-6，
令2r-6=-1，解得r=$\frac{5}{2}$，不合题意，舍去；
∴令2r-6=0，解得r=3；
∴T₃₊₁=2³•${C}_{6}^{3}$=160，
∴（2x-1）${（\frac{1}{x}+2x）}^{2}$展开式中的常数项为-1×160=-160．
故答案为：-160．

点评 本题考查了二项式系数性质的应用问题，熟练掌握二次项系数的性质是解题的关键．