Question

3．已知n为正整数，则$\sqrt{n+3}$-$\sqrt{n}$与$\sqrt{n+4}$-$\sqrt{n+1}$的大小关系是（$\sqrt{n+4}$-$\sqrt{n+1}$）＜（$\sqrt{n+3}$-$\sqrt{n}$）．

Answer 1

分析 作差利用有理化因式即可得出．

解答 解：（$\sqrt{n+4}$-$\sqrt{n+1}$）-（$\sqrt{n+3}$-$\sqrt{n}$）
=（$\sqrt{n+4}$-$\sqrt{n+3}$）-（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）
=$\frac{1}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n+3}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$，
∵$\sqrt{n+4}$+$\sqrt{n+3}$＞$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n+3}}$＜$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$，
∴（$\sqrt{n+4}$-$\sqrt{n+1}$）＜（$\sqrt{n+3}$-$\sqrt{n}$）．
故答案为：（$\sqrt{n+4}$-$\sqrt{n+1}$）＜（$\sqrt{n+3}$-$\sqrt{n}$）．

点评 本题考查了“作差法”、有理化因式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．