Question

10．设正项等比数列{a_n}中，a₁=2，$\frac{1}{2}{a_3}$是3a₁与2a₂的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}的各项为正，且b_n是$\frac{n}{a_n}$与$\frac{n}{{{a_{n+2}}}}$的等比中项，求数列{b_n}的前n项和T_n；若对任意n∈N^*都有T_n＞log_m2成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设正项等比数列{a_n}的公比为q，由已知列式求出公比q，代入等比数列的通项公式得答案；
（2）由b_n是$\frac{n}{a_n}$与$\frac{n}{{{a_{n+2}}}}$的等比中项，求得数列{b_n}的通项公式，再由错位相减法求出数列{b_n}的前n项和T_n，由对任意n∈N^*都有T_n＞log_m2成立求得实数m的取值范围．

解答 解：（1）设正项等比数列{a_n}的公比为q，由题意得：a₃=3a₁+2a₂，
∴2q²=6+4q，
∴q=3或q=-1（舍去），
∴${a_n}=2•{3^{n-1}}$；
（2）∵b_n是$\frac{n}{a_n}$与$\frac{n}{{{a_{n+2}}}}$的等比中项，
∴${{b}_{n}}^{2}$=$\frac{n}{a_n}$•$\frac{n}{{{a_{n+2}}}}$=$\frac{n}{2•{3}^{n-1}}•\frac{n}{2•{3}^{n+1}}=（\frac{n}{2•{3}^{n}}）^{2}$，
∴${b_n}=\frac{n}{{2•{3^n}}}$，
则${T_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+…+\frac{n}{3^n}）$，
$\frac{1}{3}{T_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{3}{3^4}+…+\frac{n}{{{3^{n+1}}}}）$，
两式作差得：$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{3^n}+\frac{n}{{{3^{n+1}}}}）$=$\frac{1}{2}[\frac{{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3^n}）}}{{1-\frac{1}{3}}}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}]=\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{2n+3}{{2•{3^{n+1}}}}）$．
∴${T_n}=\frac{3}{8}-\frac{2n+3}{{8•{3^n}}}$．
∵T_n单调递增，
∴T_n的最小值为T₁=$\frac{1}{6}$，
由${log_m}2＜\frac{1}{6}$，得$\left\{{\begin{array}{l}{0＜m＜1}\\{2＜{m^{\frac{1}{6}}}}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{m＞1}\\{2＜{m^{\frac{1}{6}}}}\end{array}}\right.$，
解得：0＜m＜1或m＞64，
故实数m的取值范围是（0，1）∪（64，+∞）．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，训练了利用错位相减法求数列的和，是中档题．