Question

20．已知：关于x的方程x²+ax+1-a=0，根据下列条件，分别求出实数a的取值范围：
（1）方程的两个根都大于0；
（2）方程的两个根都小于0；
（3）方程的两个根异号；
（4）方程的两个根同号．

Answer 1

分析 （1）方程有两正根，△≥0，且对称轴＞0，两根积为正数；
（2）方程有两负根，△≥0，且对称轴＜0，两根积为正数
（3）方程的两个根异号转化为f（0）＜0，求解即可．
（4）结合（1）（2）写出结果即可．

解答 解：（1）关于x的方程x²+ax+1-a=0，方程的两个根都大于0，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}+4a-4≥0}\\{-\frac{a}{2}＞0}\\{1-a＞0}\end{array}\right.$，
解得a∈（-∞，$-2\sqrt{2}-2$]．
（2）由题意方程的两个根都小于0，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-4（1-a）≥0}\\{-\frac{a}{2}＜0}\\{1-a＞0}\end{array}\right.$   
解得a∈[2$\sqrt{2}-2$，1）．
（3）由题意关于x的方程x²+ax+1-a=0，方程的两个根异号，
令f（x）=x²+ax+1-a，只需f（0）＜0即可，即1-a＜0，解得1＜a．
（4）由（1）（2）可得：a∈[2$\sqrt{2}-2$，1）∪（-∞，$-2\sqrt{2}-2$]．

点评 本题考查完成时的性质，解决此类问题时，要找到两根与系数的关系，同时不能漏掉题目隐含条件，以免出错．