Question

17．已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）若曲线y=f（x）存在一条切线与直线y=x平行，求a的取值范围；
（2）当0＜a＜2时，若f（x）在[a，2]上的最大值为-$\frac{1}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a的函数式，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于a的方程，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
若曲线y=f（x）存在一条切线与直线y=x平行，
则$\frac{1}{x}$-a=1，即a=$\frac{1}{x}$-1有解，
由x＞0，得：a＞-1；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递减，
①2≤$\frac{1}{a}$即0＜a≤$\frac{1}{2}$时，
f（x）在[a，2]递增，f（x）_max=f（2）=ln2-2a=-$\frac{1}{2}$，
解得：a=$\frac{1}{2}$ln2+$\frac{1}{4}$＞$\frac{1}{2}$（舍）；
②a＜$\frac{1}{a}$＜2即$\frac{1}{2}$＜a＜1时，
f（x）在[a，$\frac{1}{a}$）递增，在（$\frac{1}{a}$，2]递减，
故f（x）_max=f（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$-1=-$\frac{1}{2}$，
解得：a=$\frac{\sqrt{e}}{e}$，
③$\frac{1}{a}$≤a，即1≤a＜2时，
f（x）在[a，2]递减，f（x）_max=f（a）=lna-a²=-$\frac{1}{2}$，
函数n（a）=lna-a²，a∈[1，2），n′（a）=$\frac{1}{a}$-2a递减，n′（1）=-1＜0，
故n（a）在[1，2）递减，n（a）＜n（1）=-1＜-$\frac{1}{2}$，
故方程lna-a²=-$\frac{1}{2}$无解；
综上a=$\frac{\sqrt{e}}{e}$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．