Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+mx（m＞0），数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）在f（x）图象上，且f（x）的最小值为-$\frac{1}{8}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足b_n=$\frac{{{2^{a_n}}}}{{（{2^{a_n}}-1）（{2^{{a_{n+1}}}}-1）}}$，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）$f（x）=\frac{1}{2}{（{x+m}）^2}-\frac{m^2}{2}$，故f（x）的最小值为$-\frac{m^2}{2}=-\frac{1}{8}$．又m＞0，解得$m=\frac{1}{2}$，即${S_n}=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{1}{2}n$．再利用数列递推关系即可得出a_n．
（2）由（1）知${b_n}=\frac{2^n}{{（{2^n}-1）（{2^{n+1}}-1）}}$=$\frac{1}{{{2^n}-1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$，利用裂项求和方法即可得出．

解答 （1）解：$f（x）=\frac{1}{2}{（{x+m}）^2}-\frac{m^2}{2}$，
故f（x）的最小值为$-\frac{m^2}{2}=-\frac{1}{8}$．
又m＞0，所以$m=\frac{1}{2}$，即${S_n}=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{1}{2}n$．
所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n；
当n=1时，a₁=1也适合上式，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=n．
（2）证明：由（1）知${b_n}=\frac{2^n}{{（{2^n}-1）（{2^{n+1}}-1）}}$=$\frac{1}{{{2^n}-1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$，
所以${T_n}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{{{2^n}-1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$=$1-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$，
所以T_n＜1．

点评 本题考查了数列递推关系、二次函数的单调性、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．