Question

12．已知函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的导函数f′（x）=2x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n（n，S_n）均在函数y=f（x）的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b₁=1，b_n+1=b_n+a_n+2（n∈N^*），求b_n；
（3）记c_n=$\root{4}{\frac{1}{{b}_{n}}}$（n∈N^*），试证c₁+c₂+…+c₂₀₁₁＜89．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据导数和函数的关系求出a，b的值，再根据点在直线上，故可得S_n=n²-2n，再根据数列的递推公式即可求出，
（Ⅱ）利用迭代法即可求出数列的通项公式，
（Ⅲ）利用放缩法即可证明．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=2ax+b=2x-2，
∴a=1，b=-2，
∴f（x）=x²-2x，
∴S_n=n²-2n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-3，
a₁=S₁=-1适合上式，
∴a_n=2n-3，
（Ⅱ）由b₁=1，b_n+1=b_n+a_n+2（n∈N^*），
得b_n+1-b_n=a_n+2=2n+1，（n∈N^*），
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₃）+…+（b_n-b_n-1）=1+3+5+…+（2n-1）=n²，
∴b_n=n²，（n∈N^*），
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知c_n=$\root{4}{\frac{1}{{b}_{n}}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$，c₁=1
∴$\frac{1}{\sqrt{n}}$=$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}$＜$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$），（n∈N^*，n≥2），
∴c₁+c₂+…+c₂₀₁₁＜1+2（$\sqrt{2}$-1）+2（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）+…+2（$\sqrt{2011}$-$\sqrt{2010}$）=2$\sqrt{2011}$-1＜2×45-1=89．

点评 本题考查了数列和函数的特征，以及数列的递推公式和放缩法证明不等式，属于中档题