Question

2．已知函数$f（x）=（{m+\frac{1}{m}}）lnx+\frac{1}{x}-x$，（其中常数m＞0）
（1）当m=2时，求f（x）的极大值；
（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）利用导数，我们可以确定函数的单调性，这样就可求f（x）的极大值；（2）求导数，再进行类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性．

解答 解：（1）当m=2时，f（x）=$\frac{5}{2}$lnx+$\frac{1}{x}$-x，
f′（x）=-$\frac{（x-2）（2x-1）}{{2x}^{2}}$（x＞0），
f′（x）＜0，可得0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞2；
令f′（x）＞0，可得$\frac{1}{2}$＜x＜2，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）和（2，+∞）上单调递减，在（$\frac{1}{2}$，2）单调递增             
故f（x）极大=f（2）=$\frac{5}{2}$ln2-$\frac{3}{2}$；
（2）f′（x）=-$\frac{（x-m）（x-\frac{1}{m}）}{{x}^{2}}$，x＞0，m＞0）
①当0＜m＜1时，则$\frac{1}{m}$＞1，故x∈（0，m），f′（x）＜0；
x∈（m，1）时，f′（x）＞0
此时f（x）在（0，m）上单调递减，在（m，1）单调递增；           
②当m=1时，则$\frac{1}{m}$=1，故x∈（0，1），有f′（x）=-$\frac{{（x-1）}^{2}}{{x}^{2}}$＜0恒成立，
此时f（x）在（0，1）上单调递减；                  
③当m＞1时，则0＜$\frac{1}{m}$＜1，
故x∈（0，$\frac{1}{m}$）时，f′（x）＜0；x∈（$\frac{1}{m}$，1）时，f′（x）＞0，
此时f（x）在（0，$\frac{1}{m}$）上单调递减，在（$\frac{1}{m}$，1）单调递增．

点评 用导数，我们可解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键．