Question

12．如图，等腰直角三角形区域ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=1百米．现准备划出一块三角形区域CDE，其中D，E均在斜边AB上，且∠DCE=45°．记三角形CDE的面积为S．
（1）①设∠BCE=θ，试用θ表示S；
②设AD=x，试用x表示S；
（2）求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）①等腰直角三角形区域ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=100米，∠ACB=∠ABC=45°，由正弦定理表示CD和CE，即可用θ表示S；
②设AD=x，利用正弦定理把x与∠BCE=θ建立关系，带入①可得x表示S
（2）利用（1）中①的表达式，根据辅助角公式化简后，利用三角函数的有界限可得S的最大值．

解答 解：由题意，∠ACB=90°，BC=AC=100米，∠ACB=∠ABC=45°，
（1）①设∠BCE=θ（0≤θ≤45°），$∠CEB=π-\frac{π}{4}-θ=\frac{3π}{4}-θ$，$∠CDA=θ+\frac{π}{2}$．
在三角形ACD和三角形CBE中，由正弦定理：得：$\frac{CE}{sin45°}=\frac{1}{sin（\frac{3}{4}π-θ）}$
$\frac{CD}{sin45°}=\frac{1}{sin（θ+\frac{π}{2}）}$
∴CE=$\frac{1}{sinθ+cosθ}$，CD=$\frac{\sqrt{2}}{2cosθ}$
那么：三角形CDE的面积为S=$\frac{1}{2}$CD•CE•sin45°=$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{sinθ+cosθ}$×$\frac{\sqrt{2}}{2cosθ}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{4sinθcosθ+4co{s}^{2}θ}$
②设AD=x，∠BCE=θ，那么∠ACD=$\frac{π}{4}$-θ．
在三角形ACD中，由正弦定理：得：$\frac{1}{sin（θ+\frac{π}{2}）}=\frac{x}{sin（\frac{π}{4}-θ）}$
化简可得：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}tanθ$．
得：tanθ=1$-\sqrt{2}$x．
由①的表达式化简可得：S=$\frac{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}{4sinθcosθ+4co{s}^{2}θ}$=$\frac{ta{n}^{2}θ+1}{4tanθ+4}$
将tanθ=1$-\sqrt{2}$x带入上式，可得S=$\frac{（1-\sqrt{2}x）^{2}+1}{4（1-\sqrt{2}x）+4}$=$\frac{2{x}^{2}-2\sqrt{2}x+2}{4（2-\sqrt{2}x）}$=$\frac{{x}^{2}-\sqrt{2}x+1}{4-2\sqrt{2}x}$．
（2）由①的表达式S=$\frac{1}{4sinθcosθ+4co{s}^{2}θ}$
化简可得：S=$\frac{1}{2sin2θ+2（1+cos2θ）}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}sin（2θ+\frac{π}{4}）+2}$．
∵0≤θ≤45°，
∴$\frac{π}{4}≤2θ+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}$．
可得：sin（2θ$+\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$]．
∴S_max=$\frac{1}{2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+2}=\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．