Question

7．已知点A（1，$\sqrt{2}$）是离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的椭圆C：$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$（a＞b＞0）上的一点，斜率为$\sqrt{2}$的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合
（ I）求椭圆C的方程；
（ II）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值
（ III）△ABD面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由点A（1，$\sqrt{2}$）是离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的椭圆C：$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$（a＞b＞0）上的一点，列出方程组求出a=2，$b=\sqrt{2}$，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设D（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB、AD的斜率分别为：k_AB、k_AD，设直线BD的方程为$y=\sqrt{2}x+b$，联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}x+b}\\{2{x^2}+{y^2}=4}\end{array}}\right.$$，得4{x^2}+2\sqrt{2}bx+{b^2}-4=0$，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明直线AB，AD的斜率之和为定值．
（Ⅲ）|BD|=$\sqrt{1+（\sqrt{2}）^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$$\sqrt{8-{b}^{2}}$，求出点A到直线BD：$y=\sqrt{2}x+b$的距离$d=\frac{|b|}{{\sqrt{3}}}$，由此能求出当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为$\sqrt{2}$．

解答 解：（Ⅰ）∵点A（1，$\sqrt{2}$）是离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的椭圆C：$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$（a＞b＞0）上的一点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{2}{{a}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，$b=\sqrt{2}$，$c=\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1$．…（2分）
证明：（Ⅱ）设D（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB、AD的斜率分别为：k_AB、k_AD，
则k_AD+k_AB=$\frac{{{y_1}-\sqrt{2}}}{{{x_1}-1}}+\frac{{{y_2}-\sqrt{2}}}{{{x_2}-1}}=\frac{{\sqrt{2}{x_1}+b-\sqrt{2}}}{{{x_1}-1}}+\frac{{\sqrt{2}{x_2}+b-\sqrt{2}}}{{{x_2}-1}}$
=$2\sqrt{2}+b[\frac{{{x_1}+{x_2}-2}}{{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1}}]$，（*）
设直线BD的方程为$y=\sqrt{2}x+b$，
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}x+b}\\{2{x^2}+{y^2}=4}\end{array}}\right.$$，得4{x^2}+2\sqrt{2}bx+{b^2}-4=0$，
∴△=-8b²+64＞0，解得-2$\sqrt{2}$＜b＜2$\sqrt{2}$，${x_1}+{x_2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}b$，----①，${x_1}{x_2}=\frac{{{b^2}-4}}{4}$-----②，
将①、②式代入*式整理得$2\sqrt{2}+b[\frac{{{x_1}+{x_2}-2}}{{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1}}]$=0，
∴k_AD+k_AB=0，∴直线AB，AD的斜率之和为定值．
解：（Ⅲ）|BD|=$\sqrt{1+（\sqrt{2}）^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{64-8{b}^{2}}}{4}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$$\sqrt{8-{b}^{2}}$，
设d为点A到直线BD：$y=\sqrt{2}x+b$的距离，∴$d=\frac{|b|}{{\sqrt{3}}}$，
∴${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}|{BD}|d=\frac{{\sqrt{2}}}{4}\sqrt{（8-{b^2}）{b^2}}≤\sqrt{2}$，
当且仅当b=±2时取等号，
∵±2$∈（-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$，∴当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的斜率之和为定值的证明，考查三角形面积是否有最大值的判断与求法，涉及到椭圆、直线方程、弦长公式、点到直线的距离公式、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．