Question

4．已知定义域为R的函数f（x）=a+$\frac{2bx+3sinx+bxcosx}{2+cosx}$（a，b∈R）有最大值和最小值，且最大值与最小值之和为6，则3a-2b=（　　）

• A． 7
• B． 8
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 把已知函数式变形，根据条件可知b=0，然后根据三角函数的辅助角公式求函数的值域，再由最大值与最小值之和为6求得a的值，从而求得3a-2b的值．

解答 解：∵函数y=f（x）=a+$\frac{2bx+3sinx+bxcosx}{2+cosx}$=a+bx+$\frac{3sinx}{2+cosx}$有最大值和最小值，
∴必有b=0，
则y=f（x）=a+$\frac{3sinx}{2+cosx}$，即y-a=$\frac{3sinx}{2+cosx}$．
∴3sinx+（a-y）cosx=2y-2a，
得$\sqrt{9+（a-y）^{2}}sin（x+θ）=2y-2a$（tanθ=$\frac{a-y}{3}$）．
∴sin（x+θ）=$\frac{2y-2a}{\sqrt{9+（a-y）^{2}}}$，
由|sin（x+φ）|=|$\frac{2y-2a}{\sqrt{9+（a-y）^{2}}}$|≤1，
可得（y-a）²≤3，故有a-$\sqrt{3}$≤y≤a+$\sqrt{3}$．
再根据最大值与最小值之和为6，可得2a=6，即a=3，
∴3a-2b=9-0=9，
故选：C．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，利用条件确定b=0是解决本题的关键，属于中档题．