Question

11．已知函数f（x）=2x-e^2x（e为自然对数的底数），g（x）=mx+1，（m∈R），若对于任意的x₁∈[-1，1]，总存在x₀∈[-1，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （-∞，1-e²]∪[e²-1，+∞）
• B． [1-e²，e²-1]
• C． （-∞，e^-2-1]∪[1-e^-2，+∞）
• D． [e^-2-1，1-e^-2]

Answer 1

分析 利用导数求出函数f（x）的值域A，分类讨论m求得函数g（x）的值域B，把问题转化为A⊆B列不等式组求解．

解答 解：∵f′（x）=2-2e^2x，
∴f′（x）≥0在区间[-1，0]上恒成立，f（x）为增函数；f′（x）≤0在区间[0，1]上恒成立，f（x）为减函数．
∵f（-1）-f（1）=（-2-e^-2）-（2-e²）=e²-e^-2-4＞0，
∴f（-1）＞f（1），又f（0）=-1，则函数f（x）在区间[-1，1]上的值域为A=[2-e²，-1]．
当m＞0时，函数g（x）在区间[-1，1]上的值域为B=[-m+1，m+1]，依题意，
有A⊆B，则$\left\{\begin{array}{l}{-m+1≤2-{e}^{2}}\\{m+1≥-1}\end{array}\right.$，解得m≥e²-1；
当m=0时，函数g（x）在区间[-1，1]上的值域为B={1}，不符合题意；
当m＜0时，函数g（x）在区间[-1，1]上的值域为B=[m+1，-m+1]，依题意，
有A⊆B，则$\left\{\begin{array}{l}{m+1≤2-{e}^{2}}\\{-m+1≥-1}\end{array}\right.$，解得m≤1-e²．
综上，实数m的取值范围为（-∞，1-e²]∪[e²-1，+∞）．
故选：A．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，正确理解题意是解答该题的关键，是中档题．