Question

17．下列命题：
①常数列既是等差数列又是等比数列；
②若直线l：y=kx-$\sqrt{3}$与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）；
③若α，β都是锐角，sinα=$\frac{4}{5}$，cos（α+β）=$\frac{5}{13}$，则cosβ=$\frac{63}{65}$
④如果（a-2）x²+（a-2）x-1≤0对任意实数x总成立，则a的取值范围是[-2，2]．
其中所有正确命题的序号是②③④．

Answer 1

分析 根据等比数列的定义，可以判断①，
联立两直线方程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集即可得到k的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率k，根据正切函数图象得到倾斜角的范围可判断②，
根据两角差的余弦公式，可得cosβ=cos（α+β-α）=$\frac{63}{65}$，故可判断③，
根据不等式恒成立的问题，分类讨论，即可判断④．

解答 解：对于①，例如，0，0，0，…，0是等差数列，不是等比数列，故①不正确，
对于②解：联立两直线方程得：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\sqrt{3}}\\{2x+3y-6=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3\sqrt{3}+6}{2+3k}}\\{y=\frac{6k-2\sqrt{3}}{2+3k}}\end{array}\right.$
因为两直线的交点在第一象限，所以得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3\sqrt{3}+6}{2+3k}＞0}\\{\frac{6k-2\sqrt{3}}{2+3k}＞0}\end{array}\right.$，
解得：k＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）．故②正确；
对于③∵α，β都是锐角，sinα=$\frac{4}{5}$，cos（α+β）=$\frac{5}{13}$，∴cosα=$\frac{3}{5}$，sin（α+β）=$\frac{12}{13}$，
∴cosβ=cos（α+β-α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=$\frac{5}{13}×\frac{3}{5}$+$\frac{12}{13}×\frac{4}{5}$=$\frac{63}{65}$，故③正确；
对于④，当a=2时，-1≤0成立，当a≠2时，由题意得$\left\{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{（a-2）^{2}+4（a-2）＜0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{（a-2）^{2}+4（a-2）≤0}\end{array}\right.$，解得-2≤a＜2，所以a的取值范围为[-2，2]，故④正确，
故答案为：②③④．

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握上述基本知识点，并应用这些基本知识点判断题目命题的真假是解答本题的关键．